Formation en pédagogie inclusive
pour les ENSEIGNANTS-ressource novices

Module 7 L’enseignant-ressource pour appuyer la diversité en mathématiques et en numératie

Section 3 -  Des outils au service de certains concepts et des habiletés essentiels

3.1 Développer le sens des nombres (recueil de vidéos)

Il est important de reconnaitre que les nombres et les opérations constituent l’un des éléments fondamentaux de plusieurs autres domaines mathématiques.

PRIME, 2008

Vous trouverez ici un recueil de stratégies de base favorisant une compréhension solide du nombre chez l’élève.

Le saviez-vous?

Chez les élèves en difficulté, le manque de connaissances générales peut être un obstacle important à la réussite en mathématiques. (52 semaines dans un an, 60 sec. dans une minute, 52 cartes dans un paquet, 26 lettres dans l’alphabet…)

3.1.1 Évaluer les quantités

Conservation du nombre
Dénombrement
Reconnaissance globale
Compréhension des nombres repères
Représenter des nombres décimaux


3.1.2 Décomposer et composer

Jouer avec les nombres


3.1.3 Comparer

Comparer avec la droite numérique ouverte



Clin d'oeil au secondaire

3.2 Développer le sens des opérations

L’apprentissage des opérations est orienté vers la compréhension des calculs, contrairement à l’apprentissage des procédures. On met davantage l’accent sur l’exploration du calcul mental et la diversité des stratégies. Il est primordial de développer le sens des opérations dans des contextes de résolution de problèmes.







3.2.1 Algorithme personnel


TRANSCRIPTION

Les algorithmes personnels

Mise en contexte

L’apprentissage des opérations à l’école primaire est orienté vers la compréhension des calculs contrairement à l’apprentissage de procédures. C’est pourquoi on ne favorise plus la démarche traditionnelle. On met davantage l’accent sur l’exploration du calcul mental et la diversité des stratégies qu’on appelle algorithmes personnels. Certaines de ces stratégies inventées pourront être utilisées comme stratégie de calcul mental.

La mémorisation d’une démarche abstraite peut faire en sorte que l’élève voit les mathématiques comme « n’ayant aucun sens ». À court terme, l’apprentissage d’une procédure peut paraître utile, mais peut avoir des répercussions à long terme. Les algorithmes appris par mémorisation sont souvent vite oubliés et il faut les réapprendre année après année. C’est pourquoi on met davantage l’accent sur le développement d’algorithmes personnels.

Les algorithmes personnels, qu’est-ce que c’est?

Ce sont des méthodes de calcul flexibles:

  • elles doivent être comprises par les élèves pour être efficaces;
  • elles peuvent avoir été inventées par un pair, le groupe ou suggérés par l’enseignante (à l’occasion);
  • elles peuvent permettent de calculer mentalement et d’obtenir le résultat plus rapidement que les algorithmes traditionnels.

Comment développer des algorithmes personnels?

Pour développer des algorithmes personnels, l’élève doit vivre de multiples occasions de résoudre différents types de problèmes offrant des contextes concrets. Les élèves se servent de matériel de manipulation pour résoudre les problèmes et discutent de leurs stratégies. Les échanges mathématiques entre les élèves leur permettent de voir les liens entre les différentes stratégies, ce qui les apporte à l’utilisation de stratégies plus efficaces.

Après plusieurs expériences, la plupart des élèves utilisent les démarches qui leur sont plus faciles et plus efficaces. La stratégie choisie pourra varier selon le contexte du problème. Par exemple, si on a 300 – 40, l’élève pourrait compter par bonds de 10 à rebours. Mais si on a 197 – 22, il pourrait arrondir le premier terme à 200, soustraire 22 ensuite soustraire 3. Il pourrait aussi soustraire 20 de 197 en comptant à rebours et ensuite
soustraire 2.

Le rôle de l’enseignant

L’enseignant doit:

  • travailler la décomposition des nombres et la compréhension de la valeur de position car ce sont des concepts essentiels au développement d’algorithmes personnels;
  • offrir de multiples occasions de développer des algorithmes personnels dans des contextes signifiants;
  • permettre aux élèves de comparer les stratégies, orienter la discussion et diriger la progression des élèves vers des stratégies plus efficaces;
  • aider l’élève à organiser les traces de son raisonnement en l’amenant à faire des liens entre le matériel de manipulation, les images et les symboles;
  • modeler certaines stratégies tout en expliquant le raisonnement utilisé;
  • laisser du temps aux élèves de comprendre et de consolider les stratégies;
  • installer un climat de respect et d’entraide afin que les élèves se sentent en confiance de partager leurs stratégies.

Le matériel de manipulation

L’élève doit souvent avoir l’occasion de se servir de matériel de manipulation varié pour développer des algorithmes personnels. Ceci favorise le développement conceptuel, ainsi qu’une compréhension solide.

Les avantages

  • Le développement d’algorithmes personnels favorise une compréhension du sens du nombre et des opérations car les élèves travaillent avec des nombres et non avec des chiffres. Les concepts de base 10 sont renforcés, les élèves ont une meilleure compréhension de la valeur de position.
  • Les stratégies inventées favorisent le calcul à partir de la gauche plutôt que de la droite. Cette façon de penser nous donne un ordre de grandeur de la réponse dès le départ. Avec l’algorithme traditionnel, il faut attendre à la fin pour avoir une idée du résultat.
  • Les élèves font moins d’erreurs et ont plus de facilité avec le calcul mental.
  • Les élèves reconnaissent davantage l’utilité des mathématiques.
  • Les élèves ont plus de souplesse en résolution de problèmes, car il peut y avoir différentes façons d’arriver à la réponse.

« Les élèves n’inventent pas spontanément de merveilleuses méthodes de calcul pendant qu’on les observe! »

Quelques idées pour développer des algorithmes personnels:

  • Donner du temps aux élèves pour résoudre le problème avec du matériel concret
  • Écouter les différentes méthodes des élèves (encourager les élèves qui ont trouvé une méthode à en trouver une deuxième)
  • Demander aux élèves de démontrer leur démarche à l’aide de modèle (cadre à 10 cases, rekenrek, droite numérique, matériel de base 10, etc.)
  • Noter au tableau les explications données oralement par les élèves
  • Demander aux élèves d’appliquer la méthode avec d’autres nombres (les élèves doivent avoir l’occasion de pratiquer une stratégie proposée afin de déterminer s’il la comprend et s’il désire l’utiliser)

«  Les enfant à qui l’on n’enseigne pas les algorithmes deviennent de plus en plus aptes à décomposer les nombres et à jouer avec eux. Ils deviennent des penseurs mathématiques de plus en plus habiles. Ce processus prend du temps; on n’y arrive pas du jour au lendemain, mais on y arrive. » Jeunes mathématiciens en action Tome 1, p. 131

Combien de temps dois-je attendre avant d’enseigner les algorithmes usuels?

« Si vous avez l’intention d’enseigner les algorithmes traditionnels, il serait préférable de réserver aux méthodes inventées une longue période de temps, mesurée en mois et non en semaines. Introduisez les algorithmes le plus tard possible. En travaillant avec des stratégies inventées, les élèves comprendront mieux les méthodes traditionnelles, ce qui facilitera l’enseignement ». Van de Walle, tome 2, p. 110

Les algorithmes traditionnels ou usuels ne sont pas mauvais en soi. Mais pour les utiliser, l’élève doit bien comprendre leur fonctionnement et être en mesure de les expliquer. Il s’agit tout simplement d’une autre stratégie à mettre dans son coffre à outils. Ceci étant dit, il ne faut toutefois pas commencer par l’enseignement de l’algorithme traditionnel car il entrave à la compréhension de la valeur de position. Il importe que les élèves explorent d’abord les algorithmes personnels. Sinon, le recours à des procédures apprises par coeur les empêchera de faire appel à leur raisonnement mathématique.

Si un enseignant ou enseignante présente un algorithme usuel:

  • S’assurer que l’élève a un bon sens du nombre et une bonne connaissance des algorithmes personnels.
  • Bien nommer la valeur de position (par exemple si on a 45 – 23, dire 40 – 20 et non 4 – 2)
  • Avoir déjà donné plusieurs occasions aux élèves d’inventer des algorithmes personnels
  • Faire des liens entre les symboles utilisés et le matériel de manipulation
  • Utiliser les termes « échange » et « regroupement » au lieu de « emprunt » et « retenu »
  • Apporter l’élève à se servir du contexte et/ou des nombres utilisés afin de décider s’il est plus efficace d’utiliser l’algorithme usuel ou un algorithme personnel

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Des exemples d’algorithmes personnels d’addition

  • La compensation
  • Additionner de gauche à droite
  • Bonds de 10
  • La décomposition
  • Simplifier un nombre

La compensation

L’élève simplifie les termes afin de travailler avec des nombres repères.

Miguel a 64 cartes de hockey dans sa collection. Son frère lui donne 27 cartes. Combien de cartes Miguel a-t-il en tout dans sa collection?

Il est possible que l’élève ait le raisonnement suivant : « J’ai 64 cartes + 27. Je vais prendre 3 cubes ou 3 unités et je vais les envoyer de l’autre côté pour me faire un beau nombre, un nombre pair, plus facile à calculer. Donc, qu’est-ce que j’ai fait? J’ai enlevé 3 de ce côté-ci et j’ai ajouté 3 de l’autre. J’ai maintenant 61 + 30, ce qui me donne un total de 91. »

L’élève aurait pu dire aussi : « 61 + 10 + 10 + 10. Ce qui me donne 91 cartes. »

Additionner en décomposant

L’élève décompose les nombres avant d’additionner. Cet algorithme représente la propriété de l’associativité parce que l’ordre dans laquelle il opère n’a pas d’importance.

Camille a joué à un jeu pendant 37 minutes. Après avoir pris une pause, elle a joué de nouveau pendant 26 minutes. Combien de temps Camille a-t-elle joué à son jeu?

L’élève pourrait avoir le raisonnement suivant : « Pour trouver le total, je regarde d’abord mes groupes de 10. Ici, j’ai 3 groupes de 10, ce qui me donne 30. Là, j’ai 2 groupes de 10, ce qui me donne 20. Donc, 30 + 20 me donne un total de 50.

Ensuite, l’élève peut aller chercher les 7 unités + 6 unités : « Je vais laisser les traces, donc 7 plus 6, si je me sers de mes faits numériques, ça me donne 13. Donc 50 + 13, me donne 63 minutes. »

Camille a joué à son jeu pendant 63 minutes.

Simplifier un nombre

L’élève modifie un nombre afin qu’il devienne plus simple et il réajuste à la fin.

Denis a 45 petites autos dans sa collection. Au début de la journée, il avait plus d’autos, mais il en a prêté 18 à son ami. Combien d’autos Denis avait-il au début de la journée? L’élève pourrait avoir le raisonnement suivant :

« 45 + 18… 18, c’est près de 20. Donc, je pourrais dire 45 + 20. Je sais que cela me donne 65. Mais, j’en ai ajouté 2 de trop; donc, je vais dire 65 - 2, ce qui me donne 63. »

Donc, ce matin, Denis avait 63 autos dans sa collection.

De gauche à droite

L’élève additionne en commençant par la gauche, ce qui permet de développer le sens du nombre et la valeur de position. Ceci lui permet également d’obtenir une idée de la grandeur de la réponse dès le départ.

Martin fait une recherche afin de déterminer combien de voitures noires passent devant sa maison pendant l’heure du diner. Il compte 38 voitures noires pendant la première demi-heure et 27 voitures noires pendant la deuxième demi-heure.

Combien de voitures noires Martin a-t-il vues pendant l’heure du diner?

Cette stratégie ressemble beaucoup à la stratégie de la décomposition, mais cette fois-ci, on va placer les nombres à la verticale. Donc, l’élève pourrait dire : « Pour trouver le total je vais placer mes groupes de 10 ensemble.

Donc ici, j’ai 3 groupes de 10 et ici 2 groupes de 10. Donc, 30 + 20 me donne 50. Ensuite, je vais placer mes unités ensemble. J’ai 8 unités, plus 7 unités, qui me donne un total de 15. Si j’additionne ceci ensemble, j’ai 50 + 15 qui me donne 65. »

Donc, Martin a vu 65 voitures noires pendant l’heure du diner. 

Les bonds de 10

L'élève se sert de multiples de 10 pour effectuer son calcul.

Julien a économisé 46 dollars pour faire l’achat d’un jeu vidéo. À sa fête, il reçoit 33 dollars en cadeau. Combien d’argent a maintenant Julien?

L’élève peut se servir de son tableau des 100 premiers nombres pour effectuer son calcul en se servant des bonds de 10.

Donc, il pourrait commencer à 46 et dire : « 46 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 79. »
Donc, 46 + 33.

Le raisonnement de l’élève se traduit comme suit avec les symboles :
46 + 10 + 10 + 10 + 3, ce qui donne un total de 79 dollars.

Julien a maintenant 79 dollars en économies.

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Des exemples d’algorithmes personnels de division

  • L’addition répétée
  • La soustraction répétée
  • Multiplier pour diviser
  • Diviser en simplifiant les nombres
  • L’algorithme continental

Diviser en utilisant l’addition répétée

À l’animalerie du coin, il y a 25 chatons à vendre. Le propriétaire dit qu’il veut placer 6 chatons par cage. Combien de cages de six chatons y aura-t-il?

’élève peut dire : « Je place 6 chatons dans une cage. Ensuite, je place 6 chatons dans une autre cage. Je suis rendu à 12 chatons. Je rajoute une cage avec 6 chatons, je suis rendu à 18. Je rajoute 1 autre cage. Je suis rendu à 24. Il me reste donc 1 chaton que je vais placer dans la dernière cage. »
Si on fait le lien avec les symboles, l’élève a fait :

6 + 6 = 12
12 + 6 = 18
18 + 6 = 24
24 + 1 = 25

Il y aura 4 cages qui seront remplies par 6 chatons ; et il y aura 1 chaton placé dans une cinquième cage.

La soustraction répétée

Il y a 87 élèves qui veulent se rendre à l’aréna pour regarder un match de hockey. Les petits autobus qui les transportent peuvent accueillir 22 élèves.

e combien d’autobus auront-ils besoin?

L’élève pourrait, par exemple partir de son 87 et aller faire ses groupes de 22 élèves.

Faisons maintenant le lien entre le raisonnement de l’élève et les symboles. L’élève est parti de son 87, en a soustrait 22 ; il lui restait donc 65. De ce 65, il enlève encore 22, il lui reste 43. Il soustrait 22 de 43; il lui reste 21. Il y aura 3 autobus remplis de 22 élèves et 1 autobus de 21 élèves.

Ils auront donc besoin de 4 autobus.

Multiplier pour diviser

Martine achète un sac de 66 bonbons qu’elle partage avec ses 2 amis. Chaque personne reçoit le même nombre de bonbons. Combien de bonbons chaque personne reçoit-elle?

L’élève pourrait partir de son 66 et aller diviser ses bonbons en trois groupes pour représenter les amis. Elle pourrait dire : « Je donne 10 bonbons à chacun. »

Si on fait le lien avec les symboles, cela nous donne 3 groupes de 10, c’est-à-dire 30 bonbons (3 x 10).

Ensuite, l’élève peut continuer et dire : « Je donne encore 10 bonbons à chacun. »

Si on fait encore le lien avec les symboles, cela nous donne 3 fois 10.

Finalement, l’élève peut donner 2 bonbons à chacun, ce qui veut dire qu’il a fait 3 groupes de 2 bonbons, ce qui fait 6 bonbons. Ici on voit les 66 bonbons qu’il a distribués. Et si on regarde combien de bonbons chacun a reçus, on voit :

10 + 10 + 2 = 22 bonbons chacun

Diviser en simplifiant les nombres

Nathan organise une course à relais avec ses quatre amis. La distance à parcourir est de 450 mètres. Les cinq garçons doivent courir la même distance.

Combien de mètres chacun va-t-il parcourir durant la course?

L’élève peut décomposer son 450. Pour que ce soit plus simple, il peut diviser par 5. Par exemple, l’élève peut dire :
450 = 200 + 200 + 50
200 ÷ 5 = 40
200 ÷ 5 = 40
50 ÷ 5 = 10
Donc : 40 + 40 + 10 = 90

Chaque garçon va parcourir une distance de 90 mètres.

L’algorithme continental

Rachel partage également 64 ballons d’eau avec ses 2 amies. L’élève doit diviser également ses 64 ballons entre 3 personnes. Une question importante à se poser est : « Combien de ballons, au moins, est-ce que je peux donner à chaque personne. ».

L’élève pourrait par exemple dire : « On peut donner au moins 10 ballons à chaque personne. Il aurait aussi pu dire : « Je peux en donner au moins 20. »

Alors dans ce cas-ci, étant donné qu’il en a donné 10 à chaque personne, allons laisser les traces de son raisonnement.

Nous avons : 64 ÷ 3.

Ici nous allons écrire « chacun » pour identifier combien de ballons j’ai donné à chacun. Alors, l’élève a distribué 10 ballons à chacun. Ce qui veut dire qu’il a dû en prendre 30 dans son sac. On va donc laisser des traces et démontrer qu’il a pris 30 ballons dans son sac.

Si on fait la soustraction, cela veut donc dire qu’il reste 34 ballons dans le sac.

On se pose encore la question : « Au moins combien de ballons je peux donner maintenant à chacun ? ».

L’élève pourrait dire : « Je peux en donner au moins 10 à chacun. ».

Allons laisser des traces. J’en ai donné 10 à chacun, ce qui veut dire que j’en ai encore enlevé 30 dans mon sac et qu’il m’en reste 4.

« Combien de ballons est-ce que je pourrais donner à chacun? Je pourrais donner au moins 1 ballon à chacun. Je laisse mes traces. J’ai donné 1 ballon à chacun, ce qui veut dire que j’en ai soustrait 3 de mon sac. Il m’en reste maintenant 1 ballon. Chaque personne aura donc 21 ballons. Je peux aller faire les liens avec les symboles. »

10 + 10 + 1 = 21 ballons

Chaque personne aura 21 ballons et il m’en reste 1 dans mon sac.

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Des exemples d’algorithmes par multiplication

  • L’addition répétée
  • La multiplication par étape
  • La décomposition
  • La disposition rectangulaire
  • La compensation

L’addition répétée

Julie et ses amies font une sortie à la crémerie du coin. En tout, elles sont 6 petites filles qui mangeront une crème glacée. Chaque crème glacée coute 2 $. Combien coutera l'achat de crème glacée pour toutes les filles?

Alors l’élève pourrait dire : « 1 crème glacée, c’est 2 $. Alors, je fais 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, ce qui fait 2, 4, 6, 8, 10, 12… 12 dollars. »

Si on fait le lien avec les symboles, l’élève pourrait écrire 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

L’achat de crème glacée pour toutes les filles sera donc de 12 $.

La disposition rectangulaire

L’élève représente la multiplication en se servant d’un rectangle dont les dimensions correspondent aux facteurs de l’opération.

Dans la classe de Maxime, il y a 5 rangées de 4 pupitres. Combien y a-t-il de pupitres?

L’élève peut voir 5 groupes de 4 pupitres. Donc, les facteurs sont « 5 » et « 4 ». Cela donne 5 x 4 = 20 pupitres.

Grands nombres

La classe de Jeanne organise un voyage éducatif. Le cout est de 435 $ par élève et il y a 25 élèves qui participent au voyage. Quel est le cout du voyage?

L’élève peut donc représenter son problème en se faisant un rectangle et en disant : « Ici, [sur le côté horizontal], j’ai 400 + 30 + 5. Et ici [sur le côté vertical], j’en ai 20 + 5.

Il décompose donc ces facteurs pour trouver l’aire de chacune des parties.

Ici, il multiplie 20 fois 400, ce qui lui donne 8 000; ensuite, il voit 20 fois 30, qui lui donne 600; ensuite, 20 fois 5 = 100.

Ensuite, il voit 5 fois 400, qui lui donne 2 000; 5 fois 30 qui lui donne 150; et finalement 5 fois 5 qui lui donne 25.

Pour trouver l’aire totale, l’élève additionne chacune des parties.

Il pourrait dire : « Ici, j’ai 1 000; ici, j’ai 700; et là, 175. Ce qui donne 1 875 dollars, qui est le cout total du voyage.

Matériel de base 10

Dans une salle de théâtre, il y a 20 rangées de 35 sièges. Combien de sièges y a-t-il en tout dans le théâtre?

L’élève utilise un rectancle pour représenter les données de son problème.

Il voit ici ses 20 rangées de 35 sièges. Pour trouver le nombre total de sièges, l’élève pourrait dire : « Je sais qu’il y en a ici 600. »

Il a donc fait 20 groupes de 30, ce qui fait 600. Il pourrait ensuite dire : « J’en vois ici 50 et ici un autre 50. »

Il a vu 5 groupes de 10 et un autre 5 groupes de 10. En tout, cela lui donne 700.

Il y a donc 700 sièges dans le théâtre.

La multiplication par étape
Cet algorithme ressemble beaucoup à l’algorithme traditionnel, mais sans retenues et sans préoccupation de l’alignement des produits.

À chaque jour, un chien doit manger 32 grammes de nourriture par kilogramme de son poids. Le chien de Rachel pèse 12 kilogrammes. Combien de nourriture Rachel doit-elle donner à son chien dans une journée?

L’élève multiplie par étape. Par exemple, pour multiplier 12 fois 32, il dira :
2 x 2 = 4
2 x 30 = 60
10 x 2 = 20
10 x 30 = 300

Il peut ensuite additionner le tout, en disant :
300 + 60 = 360
360 + 20 = 380
380 + 4 = 384 grammes

Rachel doit donner 384 grammes de nourriture à son chien dans une journée.

Multiplier par la compensation

L’élève divise un facteur et multiplie l’autre facteur. Cet algorithme fonctionne mieux avec des nombres pairs.

Pour l’anniversaire de sa sœur, Daniel prépare 6 sacs de 35 bonbons. Combien de bonbons Daniel doit-il acheter?

L’élève peut réaliser que 6 sacs de 35 bonbons [6 x 35], c’est la même chose que 3 sacs de 70 bonbons [3 x 70]. Donc : 6 x 35, c’est la même chose que 3 x 70.

L’élève a divisé 6 par 2 et multiplié 35 par 2. Et 3 x 70, ça me donne 210 bonbons.

Multiplier en décomposant les termes

L’élève décompose un des facteurs et multiplie ces nombres par le deuxième facteur.

Un verre de Coca-cola contient 27 grammes de sucre. Combien y a-t-il de grammes de sucre dans 3 verres de Coca-cola?

27 x 3 c’est la même chose que (20 + 7) trois fois : 20 + 7, 20 + 7, 20 + 7.

L’élève peut voir ces 3 groupes de 20. Si on laisse des traces, ici je vois 3 groupes de 20, ce qui nous donne 60. L’élève voit 3 groupes de 7. Laissons les traces, ce qui donne 21.

60 + 21 me donne 81 grammes de sucre dans trois verres de Coca-cola.

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Des exemples d’algorithmes personnels de soustraction
Des exemples d’algorithmes personnels de soustraction

  • Simplifier un terme
  • Soustraire en pensant à l'addition
  • La décomposition
  • La compensation

Soustraire en simplifiant un terme

L’élève simplifie un terme pour que la soustraction soit plus facile à faire et il réajuste à la fin.

Pour un projet de science, Karine a ramassé 40 cailloux. Il y a 18 de ses cailloux qui sont blancs. Combien de cailloux ne sont pas blancs?

Ici, l’élève part avec 40. Il pourrait dire : « Je vais en enlever 20, parce que c’est plus facile à enlever que 18, mais il faut que je pense à rajouter 2 parce que j’en enlève 2 de trop. »

Si on veut faire le lien du raisonnement avec des symboles, on peut écrire 40 - 20, ce qui donne 20 et, ensuite, on réajuste en rajoutant les 2 qui ont été enlevés de trop.

Donc il reste 22 cailloux qui ne sont pas blancs.

Soustraire en décomposant

L’élève décompose un des termes pour simplifier le calcul et il soustrait par étape.

Sara a 64 bandes dessinées dans sa bibliothèque. Elle prête 15 bandes dessinées à sa grande sœur Myriam. Combien de bandes dessinées a maintenant Sara?

L’élève pourrait, par exemple avoir le raisonnement suivant : Il part de 64 dont il doit soustraire 15. Il peut commencer par soustraire 3 en premier pour se rendre au nombre pair 60, ensuite il pourrait soustraire 10. Il est alors rendu à une soustraction de 14. Comme il doit en enlever 15; il en enlève un autre. Il est donc rendu à 49.

Faisons le lien avec les symboles :
64 - 4 = 60
60 - 10 = 50
50 - 1 = 49

Sara a donc maintenant 49 bandes dessinées dans sa bibliothèque.

Soustraire en pensant à l’addition

L’élève qui comprend le lien entre l’addition et la soustraction se sert de l’addition pour trouver la réponse à un problème de soustraction.

Le grand-père d’Olivier est âgé de 86 ans. Le père d’Olivier est âgé de 53 ans. Quelle est la différence d’âge entre le père d’Olivier et le grand-père d’Olivier?

L’élève qui comprend bien le lien entre l’addition et la soustraction comprend que 86 - 53, qui donne une inconnue, c’est la même chose que 53 + une inconnue qui donnerait 86.

L’élève veut se servir de la droite numérique pour résoudre ce genre de problème. Alors, il part de 53 pour se rendre à 86. L’élève pourrait avoir le raisonnement suivant : « Je vais d’abord me rendre à 60 parce que c’est un beau nombre, un nombre pair. Donc, j’ai fait un bond de 7. Ensuite, je pourrais me rendre à 80; j’ai donc fait un bond de 20 pour me rendre à 80. Puis, pour me rendre à 86, je vais faire 3 bonds de 2, je suis rendu à 86. »
On peut faire le lien avec les symboles en disant : « Je pars de 53, je fais un bond de 7 pour me rendre 60. Ensuite, je fais un bond de 20 pour me rendre à 80. Un bond de 2, pour me rendre à 82, un autre bond de 2, je suis rendu à 84, et 84 plus 2 me donne 86. Donc, pour me rendre à 86, j’ai ajouté 20 + 7 = 27; 27 + 2 = 29; 29 + 2 = 31; 31 + 2 = 33. Ce qui veut donc dire que j’ai ajouté 33 pour me rendre à 86. » La différence d’âge entre le père et le grand-père d’Olivier est donc de 33 ans.

Utiliser la compensation

L’élève modifie les termes en ajoutant ou en enlevant la même quantité aux deux termes. Cette stratégie peut s’avérer efficace lorsque l’élève a à travailler avec des zéros.

Félicia a 200 $ en économies à la banque. Elle fait un achat de 97 $ avec ses économies. Combien lui reste-t-il d’argent à la banque?
L’élève pourrait dire : « J’ai 200 $ moins 97 $ », mais il serait plus facile d’enlever 100 $ que d’enlever 97 $. Je devrais enlever 3 dollars de plus. Donc, pour être capable de faire cela, je vais ajouter 3 dollars de plus à mes économies, puis ensuite je pourrai enlever 100 $. Il me reste donc 100 $ plus 3 dollars. »

Si on fait le lien avec les symboles, l’élève a ajouté 3 dollars pour pouvoir en enlever 3 de plus. Il a donc maintenant 203 dollars moins 100 dollars et il lui reste 103 dollars.

Il reste maintenant à Félicia 103 dollars d’économies à la banque.

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L’algorithme usuel de la soustraction

L’algorithme usuel de soustraction le plus répandu est celui par« emprunt ». On doit éviter de dire que 4 – 6 est impossible, car plus tard, les élèves apprennent que 4 - 6 = - 2

Références

Les informations offertes dans cette capsule sont tirées des références suivantes. Veuillez noter que les algorithmes présentés l’ont été à titre d’exemple et qu’il existe d’autres types d’algorithmes. Veillez à ce que les stratégies employées par l’élève soient comprises et qu’elles soient efficaces.

  • Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, fascicule 5 : Opérations fondamentales.
  • Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, fascicule 1 : Numération et sens du nombre.
  • L’enseignement des mathématiques –L’élève au centre de ses apprentissages, Van de Walle, tome 2.
  • Jeunes mathématiciens en action, tome 1, p. 131.

3.2.2 Les faits numériques

Les faits numériques sont des opérations de base qui comprennent l’addition, la soustraction, la multiplication et la division des nombres de 0 à 9.

Précisons qu’il faut éviter l’utilisation de techniques basées exclusivement sur la mémorisation. On doit amener l’élève à développer des stratégies de rappel (les doubles, les moitiés, double plus 1, etc.).

Les « stratégies de rappel aident les élèves à apprendre les faits numériques de base en faisant appel à leur compréhension du sens des nombres et des opérations. Elles les encouragent à rechercher des régularités et des liens entre les nombres. Les stratégies de rappel devraient être présentées lors d’échanges mathématiques et/ou dans des contextes de résolution de problèmes. » (atelier.on.ca)